Ganze Ringerw. A|R, R normal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei $A|R$ eine ganze Erweiterung nullteilerfreier Ringe, $R$ ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper $K$.
(a) [mm] $\mathfrak{q} \subseteq [/mm] R$ Primideal und [mm] $\alpha \in \mathfrak{q}A$. [/mm] Zeige, dass das Minimalpolynom [mm] $f_\alpha$ [/mm] von [mm] $\alpha$ [/mm] über $K$ bis auf den führenden Koeffizienten nur Koeffizienten aus [mm] $\mathfrak{q}$ [/mm] hat.
(Hinweis: Man schreibe zunächst [mm] $\alpha [/mm] = [mm] a_1\alpha_1+\ldots+a_k\alpha_k$ [/mm] mit [mm] $a_i \in \mathfrak{q}, \alpha_i \in [/mm] A$)
(b) Sein nun [mm] $\mathfrak{P}$ [/mm] Primideal von A und [mm] $\mathfrak{p}= \mathfrak{P} \cap [/mm] R$. Zeige, dass für jedes [mm] $\mathfrak{q} \subseteq [/mm] R$ Primideal mit [mm] $\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}$ [/mm] gilt:
[mm] $\mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}} [/mm] = [mm] \mathfrak{q}$. $\mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}} [/mm] := [mm] (A\backslash\mathfrak{P})^{-1}A$.
[/mm]
(Hinweis: Ein [mm] $\beta \in \mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}}$ [/mm] hat die Gestalt [mm] $\beta [/mm] = [mm] \alpha/s$ [/mm] mit [mm] $\alpha \in \mathfrak{q}A$ [/mm] und $s [mm] \in A\backslash\mathfrak{P}$. [/mm] Man wende Teil (a) auf [mm] $\alpha$ [/mm] an. |
Hallo,
ich habe noch große Schwierigkeiten mit Idealen, die bei Ringerweiterungen übereinander liegen. Mir fehlt da noch etwas das Verständnis, daher komme ich auch bei beiden Aufgabenteilen nicht sehr weit.
(a) Da $A|R$ ganz ist, ist [mm] $\alpha \in \mathfrak{q}A$ [/mm] ganz über $R$ und somit algebraisch über $K=Quot(R)$.
Dass ich [mm] $\alpha$ [/mm] darstellen kann wie im Hinweis gegben, ist mir klar. Das ist ja gerade die Definition von [mm] $\mathfrak{q}A$. [/mm] Leider weiß ich nicht, wie ich das verwerten kann.
Ich denke ich soll zeigen, dass neben [mm] $\alpha$ [/mm] auch die Konjugierten von [mm] $\alpha$, [/mm] also die anderen Nullstellen von [mm] $f_\alpha$ [/mm] in [mm] $\mathfrak{q}A$ [/mm] liegen. Die Koeffizienten des Minimalpolynoms sind (außer dem Leitkoeffizient) Polynome in den Nullstellen und sind darüber hinaus in $K$. Damit wären die Koeffizienten in [mm] $\mathfrak{q} [/mm] = K [mm] \cap \mathfrak{q}A$. [/mm] Nun weiß ich leider nicht, wie ich zeigen kann, dass diese Nullstellen in [mm] $\mathfrak{q}A$ [/mm] liegen. Sie erfüllen die gleiche Relation über $K$ wie [mm] $\alpha$. [/mm] Wie hilft mir das weiter?
(b) Dass ich [mm] $\beta \in \mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}}$ [/mm] in der Form [mm] $\beta [/mm] = [mm] \alpha/s, \alpha \in \mathfrak{q}A, [/mm] s [mm] \in A\backslash\mathfrak{P}$ [/mm] konnte ich zeigen. Nach (a) weiß ich nun, dass [mm] $f_\alpha [/mm] = [mm] Mipo_K(\alpha)$ [/mm] nur Koeffizienten in [mm] $\mathfrak{q}$ [/mm] hat, aber wie bringt mich das weiter?
Und was ist falsch an folgender Argumentation: [mm] $\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{q}A \cap [/mm] R$ ist klar. Falls [mm] $\beta \in \mathfrak{q}A \cap [/mm] R [mm] \Rightarrow \beta [/mm] = [mm] \frac{\alpha}{s}$ [/mm] mit [mm] $\alpha, [/mm] s$ wie oben. Es ist [mm] $\beta \in [/mm] R [mm] \Rightarrow \beta [/mm] = [mm] \frac{r}{1} \Rightarrow \frac{\alpha}{s} [/mm] = [mm] \frac{r}{1} \Rightarrow$ [/mm] da R nullteilerfrei $ [mm] \alpha [/mm] = sr [mm] \Rightarrow [/mm] r [mm] \in \mathfrak{q}$, [/mm] da [mm] $\alpha \in \mathfrak{q}A$ [/mm] und $s [mm] \in A\backslash\mathfrak{P}$ [/mm] also insbesondere $s [mm] \in [/mm] A [mm] \backslash \mathfrak{q}$. [/mm] Da kann ja etwas nicht stimmen, da ich Aufgabe (a) nicht brauche.
Ich würde mich sehr über Hilfe freuen.
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:33 Do 16.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]A|R[/mm] eine ganze Erweiterung nullteilerfreier Ringe, [mm]R[/mm]
> ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper [mm]K[/mm].
>
> (a) [mm]\mathfrak{q} \subseteq R[/mm] Primideal und [mm]\alpha \in \mathfrak{q}A[/mm].
> Zeige, dass das Minimalpolynom [mm]f_\alpha[/mm] von [mm]\alpha[/mm] über [mm]K[/mm]
> bis auf den führenden Koeffizienten nur Koeffizienten aus
> [mm]\mathfrak{q}[/mm] hat.
> (Hinweis: Man schreibe zunächst [mm]\alpha = a_1\alpha_1+\ldots+a_k\alpha_k[/mm]
> mit [mm]a_i \in \mathfrak{q}, \alpha_i \in A[/mm])
>
> (b) Sein nun [mm]\mathfrak{P}[/mm] Primideal von A und [mm]\mathfrak{p}= \mathfrak{P} \cap R[/mm].
> Zeige, dass für jedes [mm]\mathfrak{q} \subseteq R[/mm] Primideal
> mit [mm]\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}[/mm] gilt:
> [mm]\mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}} = \mathfrak{q}[/mm].
> [mm]\mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}} := (A\backslash\mathfrak{P})^{-1}A[/mm].
Was genau ist hier jetzt zu zeigen? Also [mm] $\mathfrak{q} A_{\mathfrak{P}}$ [/mm] ist ganz sicher nicht [mm] $\mathfrak{q}$.
[/mm]
> (Hinweis: Ein [mm]\beta \in \mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}}[/mm] hat
> die Gestalt [mm]\beta = \alpha/s[/mm] mit [mm]\alpha \in \mathfrak{q}A[/mm]
> und [mm]s \in A\backslash\mathfrak{P}[/mm]. Man wende Teil (a) auf
> [mm]\alpha[/mm] an.
>
> ich habe noch große Schwierigkeiten mit Idealen, die bei
> Ringerweiterungen übereinander liegen. Mir fehlt da noch
> etwas das Verständnis, daher komme ich auch bei beiden
> Aufgabenteilen nicht sehr weit.
>
> (a) Da [mm]A|R[/mm] ganz ist, ist [mm]\alpha \in \mathfrak{q}A[/mm] ganz
> über [mm]R[/mm] und somit algebraisch über [mm]K=Quot(R)[/mm].
> Dass ich [mm]\alpha[/mm] darstellen kann wie im Hinweis gegben, ist
> mir klar. Das ist ja gerade die Definition von
> [mm]\mathfrak{q}A[/mm]. Leider weiß ich nicht, wie ich das
> verwerten kann.
> Ich denke ich soll zeigen, dass neben [mm]\alpha[/mm] auch die
> Konjugierten von [mm]\alpha[/mm], also die anderen Nullstellen von
> [mm]f_\alpha[/mm] in [mm]\mathfrak{q}A[/mm] liegen.
Das funktioniert nur, wenn sie ueberhaupt in $A$ liegen. Damit das allgemein gilt, sollte $Quot(A) / Quot(R)$ normal sein.
Aber es hilft schon, sich erstmal diese Situation anzuschauen, und dann im allgemeinen Fall den normalen Abschluss $L$ von $Quot(A)$ zu nehmen und den ganzen Abschluss $A'$ von $A$ in $L$. Das Element [mm] $\alpha$ [/mm] liegt ja ebenfalls in [mm] $\mathfrak{q} [/mm] A'$, und somit kannst du das ganze auf die Erweiterung $A' / A$ anwenden. Das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $K = Quot(R)$ ist ja unabhaengig davon, ob du jetzt [mm] $\alpha \in [/mm] A$ oder [mm] $\alpha \in [/mm] A'$ auffasst.
> Die Koeffizienten des
> Minimalpolynoms sind (außer dem Leitkoeffizient) Polynome
> in den Nullstellen und sind darüber hinaus in [mm]K[/mm].
Vor allem: diese Polynome haben keinen konstanten Term! Sprich: der Wert des Polynoms an den Nullstellen liegt, ebenso wie jede Nullstelle, in [mm] $\mathfrak{q} [/mm] A'$.
[Dass jede Nullstelle in [mm] $\mathfrak{q} [/mm] A'$ liegt folgt daraus, dass [mm] $\mathfrak{q} [/mm] A'$ invariant unter allen Automorphismen von $L / K$ ist: das wiederum liegt daran, dass $A'$ dies ist (da die Eigenschaft fuer ein Element aus $L$, in $A'$ zu liegen, nur vom Minimalpolynom abhaengt) und dass [mm] $\mathfrak{q} \subseteq [/mm] K$ gilt.]
> Damit
> wären die Koeffizienten in [mm]\mathfrak{q} = K \cap \mathfrak{q}A[/mm].
> Nun weiß ich leider nicht, wie ich zeigen kann, dass diese
> Nullstellen in [mm]\mathfrak{q}A[/mm] liegen. Sie erfüllen die
> gleiche Relation über [mm]K[/mm] wie [mm]\alpha[/mm]. Wie hilft mir das
> weiter?
Das oben hilft dir hoffentlich weiter :)
> (b) Dass ich [mm]\beta \in \mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}}[/mm] in der
> Form [mm]\beta = \alpha/s, \alpha \in \mathfrak{q}A, s \in A\backslash\mathfrak{P}[/mm]
> konnte ich zeigen. Nach (a) weiß ich nun, dass [mm]f_\alpha = Mipo_K(\alpha)[/mm]
> nur Koeffizienten in [mm]\mathfrak{q}[/mm] hat
...ausser den Leitkoeffizienten...
> , aber wie bringt mich das weiter?
Wie lautet die Aufgabenstellung denn?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:41 Do 16.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix, danke für deine Hilfe so spät in der Nacht.
> > (b) Dass ich [mm]\beta \in \mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}}[/mm] in der
> > Form [mm]\beta = \alpha/s, \alpha \in \mathfrak{q}A, s \in A\backslash\mathfrak{P}[/mm]
> > konnte ich zeigen. Nach (a) weiß ich nun, dass [mm]f_\alpha = Mipo_K(\alpha)[/mm]
> > nur Koeffizienten in [mm]\mathfrak{q}[/mm] hat
>
> ...ausser den Leitkoeffizienten...
>
> > , aber wie bringt mich das weiter?
>
> Wie lautet die Aufgabenstellung denn?
Oje, da war wirklich ein Fehler. Die richtige Aufgabenstellung:
Sein nun $ [mm] \mathfrak{P} [/mm] $ Primideal von A und $ [mm] \mathfrak{p}= \mathfrak{P} \cap [/mm] R $. Zeige, dass für jedes $ [mm] \mathfrak{q} \subseteq [/mm] R $ Primideal mit $ [mm] \mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p} [/mm] $ gilt:
$ [mm] \mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}} \cap [/mm] R= [mm] \mathfrak{q} [/mm] $.
Ohne den Schnitt mit R macht das natürlich keinen Sinn.
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Do 16.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hallo Felix, danke für deine Hilfe so spät in der Nacht.
Bitte! Ich bin wohl ein paar Minuten zu frueh in's Bett gegangen, ansonsten haette ich das hier auch noch beantwortet 
> > > (b) Dass ich [mm]\beta \in \mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}}[/mm] in der
> > > Form [mm]\beta = \alpha/s, \alpha \in \mathfrak{q}A, s \in A\backslash\mathfrak{P}[/mm]
> > > konnte ich zeigen. Nach (a) weiß ich nun, dass [mm]f_\alpha = Mipo_K(\alpha)[/mm]
> > > nur Koeffizienten in [mm]\mathfrak{q}[/mm] hat
> >
> > ...ausser den Leitkoeffizienten...
> >
> > > , aber wie bringt mich das weiter?
>
> Oje, da war wirklich ein Fehler. Die richtige
> Aufgabenstellung:
>
> Sein nun [mm]\mathfrak{P}[/mm] Primideal von A und [mm]\mathfrak{p}= \mathfrak{P} \cap R [/mm].
> Zeige, dass für jedes [mm]\mathfrak{q} \subseteq R[/mm] Primideal
> mit [mm]\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}[/mm] gilt:
> [mm]\mathfrak{q}A_{\mathfrak{P}} \cap R= \mathfrak{q} [/mm].
>
> Ohne den Schnitt mit R macht das natürlich keinen Sinn.
Ja 
Also. Wir haben [mm] $\beta [/mm] = [mm] \alpha/s \in \mathfrak{q} A_{\mathfrak{P}} \cap [/mm] R$ mit [mm] $\alpha \in \mathfrak{q} [/mm] A$ und $s [mm] \in [/mm] A [mm] \setminus \mathfrak{P}$. [/mm] Sei $f$ das Minimalpolynom von [mm] $f_\alpha$ [/mm] ueber $K$ und $n$ der Grad: dann gilt [mm] $\deg (f_\alpha [/mm] - [mm] x^n) [/mm] < n$ und [mm] $f_\alpha [/mm] - [mm] x^n \in \mathfrak{q} [/mm] R[x]$.
Du hattest jetzt [mm] $\frac{\alpha}{s} [/mm] = [mm] \frac{r}{1}$ [/mm] mit $r [mm] \in [/mm] R$ geschrieben, woraus mit der Nullteilerfreiheit von $A$ (die von $R$ reicht hier nicht aus!) folgt [mm] $\alpha [/mm] = s r$. Jetzt ist [mm] $\mathfrak{q} [/mm] A [mm] \subseteq \mathfrak{p} [/mm] A [mm] \subseteq \mathfrak{P}$, [/mm] womit $r [mm] \in \mathfrak{P}$ [/mm] sein muss (da [mm] $\mathfrak{P}$ [/mm] ein Primideal ist). [Hier kannst du nicht gleich $r [mm] \in \mathfrak{q}$ [/mm] annehmen -- schliesslich ist [mm] $\mathfrak{q} [/mm] A$ kein Primideal in $A$.] Damit hat man dann $r [mm] \in \mathfrak{P} \cap [/mm] R = [mm] \mathfrak{p}$.
[/mm]
Du musst also doch noch etwas mehr argumentieren :)
Sei [mm] $f_\alpha [/mm] = [mm] x^n [/mm] + [mm] \sum_{i=0}^{n-1} a_i x^i$. [/mm] Mit $g(x) := [mm] f_\alpha(s [/mm] x)$ gilt dann $0 = [mm] g(\beta) [/mm] = g(r)$, also $0 = [mm] r^n [/mm] + [mm] \sum_{i=0}^{n-1} a_i r^i$. [/mm] Das ist jetzt eine Gleichung in $R$, mit [mm] $a_i \in \mathfrak{q}$ [/mm] fuer alle $i$. Damit solltest du weiterkommen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Vielen Dank Felix. Das hat sehr geholfen!
LG Lippel
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